§ 58. Цепь переменного тока с параллельно соединенными сопротивлениями

На рис. 61 изображена цепь переменного тока, в которую включены параллельно две катушки. Каждая из этих катушек обладает соответственно активным сопротивлением r₁, и r₂ и индуктивным сопротивлением X_L1 и X_L2.

Полное сопротивление первой катушки

Полное сопротивление второй катушки

Напряжение на зажимах катушек равно напряжению генератора.
Сила тока в каждой катушке определяется согласно закону Ома:

Из этих равенств можно сделать вывод, что в такой цепи токи разветвляются обратно пропорционально полным сопротивлениям ветвей.
Для определения угла сдвига фаз между напряжением и током в каждой катушке вычисляют и по таблице тригонометрических функций определяют значения углов φ₁ и φ₂.
Чем больше угол сдвига фаз между напряжением и током, тем больше реактивный ток и меньше активный, тем хуже используется электрический ток в данной установке, ниже ее коэффициент мощности (cos φ).
Так как первый закон Кирхгофа справедлив для цепей переменного тока, то в рассматриваемой цепи общий ток определяется геометрическим сложением векторов (рис. 61, б).
По горизонтали в выбранном масштабе отложим вектор напряжения Так как ток в цепи с индуктивностью отстает от напряжения, то вектор тока I₁ в выбранном масштабе отложим с помощью транспортира под углом φ₁ к вектору напряжения , а вектор тока I₂ отложим под углом φ₂. Общий ток в цепи будет равен сумме векторов тока I₁ и I₂, который определяется с учетом выбранного масштаба.
Чтобы найти общий ток, нужно воспользоваться тем, что активная составляющая общего тока — общий активный ток равен сумме активных токов ветвей:

I_a = I cos φ = I₁ cos φ₁ + I₂ cos φ₂ + I₃ cos φ₃,

а общий реактивный ток — сумме реактивных токов ветвей (если все эти реактивные токи, отстающие по фазе или все опережающие):

I_p = I sin φ = I₁ sin φ₁ + I₂ sin φ₂ + I₃ sin φ₃.

После чего определяют общий ток:

Угол сдвига фаз между общим током и напряжением φ находят по векторной диаграмме.

Пример. Три катушки соединены параллельно и к ним подключено переменное напряжение U = 100 в. Частота тока 50 гц. Активное сопротивление катушки r₁ = 2 ом; r₂ = 3 ом; r₃ = 4 ом.
Индуктивность катушек L₁ = 0,04 гн; L₂ = 0,03 гн; L₃ = 0,01 гн.
Вычислить силу тока в каждой катушке и общий ток в цепи, а также угол сдвига фаз между током и напряжением.
Решение.
Индуктивное сопротивление катушек:

X_L1 = 2πfL₁ = 2 · 3,14 · 50 · 0,004 = 12,56 ом;
X_L2 = 2πfL₂ = 2 · 3,14 · 50 · 0,003 = 9,42 ом;
X_L3 = 2πfL₃ = 2 · 3,14 · 50 · 0,004 = 3,14 ом.

Полное сопротивление каждой катушки:

Сила тока в катушках:

Общий ток в цепи равен векторной сумме токов.
Для определения угла сцвига фаз между током и напряжением каждой ветви вычисляют:

По таблице тригонометрических функций находят, что если cos φ₁ = 0,157, то угол сдвига фаз в первой ветви φ₁ = 80°55′; если cos φ₂ = 0,305, то угол сдвига фаз φ₂ = 72° 15′; если cos φ₃ = 0,79, то угол φ₃ = 37°50′.
Зная угол сдвига фаз между током и напряжением для каждой ветви, построим векторную диаграмму токов и напряжения и определим по ней общую силу тока в цепи.
Для этого отложим по горизонтали в выбранном масштабе вектор напряжения .
Под углом φ₁ = 80°55′ с помощью транспортира отложим вектор тока I₁ = 7,85 а.
Под углом φ₂ = 72° 15′ (к горизонтами) от/ожим вектор I₂ = 10,15 а как продолжение вектора I₁.
Под углом φ₂ = 37°50′ (к горизонтали) отложим вектор I₃ = 19,7 а как продолжение вектора I₂. Общий ток равен длине вектора I с учетом выбранного масштаба, который соединяет начало вектора I₁ и конец, вектора I₃. Для нашего примера он равен 35,5 а. Общий угол сдвига фаз между током I и напряжением U измеряют с помощью транспортира, он равен 56°.